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這個古老的數學難題,被兩名在家隔離的數學家破解了

原標題:這個古老的數學難題,被兩名在家隔離的數學家破解了

魚羊 白交 發自 凹非寺

量子位 報道 | 公眾號 QbitAI

疫情期間,有人困在家裡把每塊地磚都數了個遍,有人閑得把地板摳出了三室一廳。

來自英國杜倫大學的Andrew Lobb,和波士頓學院的Joshua Greene這兩位數學家,同樣面臨了這樣的窘況。

上班是沒法兒上班了,在家實在閑得無聊,他們只好翻了翻手裡積攢的一堆數學問題,挑出了其中看上去最沒有前途的一個——連陶哲軒都沒有解決:

任何簡單閉合環路,是否總能在其上找到四個點形成一個任意長寬比矩形?

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誰曾想,幾番視頻連線在線腦暴之下,他們還真就解決了這個誕生於1911年的古老數學難題。

論文一共6頁紙。

當他們把證明結果發表出來,布朗大學數學家Richard Schwartz讚歎:萬萬沒想到,解決此問題的正確方式是這樣的。

內接方形問題

這個問題,被稱為內接方形問題(或方形釘問題),源自1911年,妥妥的「百年老題」。

當時,德國數學家Otto Toeplitz預測稱,任何簡單閉合曲線,都包含四個可以連接形成正方形的點。

聽上去像是個高中生能用尺子解決的問題。

可一百多年過去了,太多數學家前赴後繼,一直也沒能最終證明這個猜想。

華盛頓與李大學助理教授Elizabeth Denne感嘆稱:「這個問題說出來很容易,也很容易理解,但想要證明真的很難。」

但在這個過程中,數學家們給出的解題思路,也成為後繼者實現突破的階梯。

用莫比烏斯帶解內接矩形問題

在1977年,數學家Herbert Vaughan首先在內接矩形問題上取得了突破,開創了一種思考矩形的幾何形狀的新思路。

證明方法大致如下。

首先,不把矩形看成四個相連的點,而是將其視作兩對相互之間具有特定關係的點。

AC、BD這兩對點之間,擁有共同的中點,並且AC = BD。

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也就是說,只要證明對於任意閉合環路,都能找到滿足以上條件的兩對不同的點,就能證明這樣的曲線中矩形總是存在的。

而通過這樣一個函數:f(A, B) = (x, y, z),就相當於能把一對點的中點和距離信息編碼出來。

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△截自3Blue1Brown視頻

我們在中點畫一個垂直於曲線平面的線段,線段長度等於兩點之間的距離。

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這樣一來,曲線內所有的點對就會構成一個曲面。這一曲面以環路為底,並且連續。

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那麼,問題就變成了,如果這一曲面上存在交點,那必然是兩對點中點相同,而且這兩對點組成的兩個連線長度相同。

這不就是矩形兩條對角線交點的性質嗎?由此就能證明矩形存在。

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Herbert Vaughan 發現,如果你在曲線上取一對點(x, y)並對其進行繪製,將會得到一個令人驚訝的形狀:莫比烏斯帶。

莫比烏斯帶長這樣,一個沒有正反面的二維神奇帶子。

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要不,你試試找一下正面?

言歸正傳,也就是說,莫比烏斯帶上的一點和曲線上的一對點存在一一對應的關係。

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△圖源:QuantaMagazine

這時候,再把莫比烏斯帶映射到 f(A, B) = (x, y, z)構成的三維曲面上。莫比烏斯帶的邊界就對應著平面上的環路。

而莫比烏斯帶扭曲的特殊形狀,決定了如果將其邊界拍平放到二維平面中,自身必定會相交。

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這也就證明了,確實有兩對不同的點,被映射到了三維曲面的同一點上。

至此,證明完畢,在三維空間中,任何閉合環路中,都至少存在這樣四個點,能夠構成一個矩形。

陶哲軒:用積分方法解決特定情況下的內接方形問題

另一位數學天才陶哲軒,則在這個問題上更進一步。

他用積分方法證明了,在曲線由兩個常數小於 1 的 Lipschitz 圖形組成的這種特殊情況下,該曲線一定存在四個能組成正方形的點。

不過,這同樣沒有完全解決內接正方形問題。

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總而言之,對於平面上的任意簡單閉合環路而言,矩形的存在已經得到了證明,但是否任意長寬比的矩形(包括正方形)都能存在,此前的數學家們都沒能解決。

而 Joshua Greene 和 Andrew Lobb 就在疫情期間,基於Herbert Vaughan的方法,將這個問題徹底解決了。

證明的思路是:

如果證明了存在任意長寬比的內接矩形,那麼方形(長寬1:1的矩形)也必然是存在的。

而且這一結論比陶哲軒想要證明的內接方形結論更強。

將莫比烏斯帶嵌入四維空間

在正式的研究時,他們還參考了去年11月普林斯頓大學一位研究生Cole Hugelmeyer 的研究。

這個研究中,介紹了用「嵌入」法分析莫比烏斯帶的方法。具體指:

假定一條一維直線,每個點都只有一個數字表示。

如果將這條直線放在二維空間,比如xy平面上,那麼直線上的每個點會由兩個數字表示,比如xy平面上的xy兩個坐標。

以此類推,放在四維空間里,就將有四個數字來表示。

思路很好,但有一個問題——如何確定四維坐標?這是Cole Hugelmeyer研究的核心。

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按照Vaughan的思路,從莫比烏斯帶上的一個定點開始。它所代表的原始封閉曲線上的兩個點(一對點),找到這對點的中點。

那麼,這個中點有對應的x和y坐標,從而可以得出具體的坐標值。

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接著,測量閉環上兩個原始點之間的直線距離,可以得到第三個坐標。

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最後,將穿過兩個原始點的直線與x軸正方向的夾角作為第四個坐標。

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四個坐標確定了,那麼莫比烏斯帶在四維空間對應的任意一點都可以用這一坐標來表示。

就類似於在xy平面上向某一軸平移一樣,只會改變其中一個坐標。

那麼,將莫比烏斯帶繞著中心點(a,b)隨機旋轉任何角度,只會改變最後一個坐標值,沒有改變其他的性質。

由此,Hugelmeyer證明了大概有三分之一的旋轉會產生與原始圖形的交集。

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也就意味著,可以找到三分之一的任意長寬比的矩形,問題並沒有完全解決。

如果能夠證明莫比烏斯帶的每一個可能的旋轉,都會產生一個交點,就等同於證明你可以找到所有可能長寬比的矩形。

那剩下的三分之二呢?

如果將其嵌入四維空間是一個有效解決方法,那為啥只對三分之一的矩形有用呢?

Greene和Lobb眉頭一皺,發現事情並不簡單。講道理,應該可以得到另外的三分之二的矩形。

於是,他們就將目光放在四維空間的構建上,既然此前的方法不行,那就試試辛空間。

「辛空間」的提出首次出現在19世紀的物理系統,比如軌道行星的研究。

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當行星穿過三維空間的時候,它的位置有三個坐標來確定,但是隨後有學者表示,在行星運動的每個點上,還可以放置一個代表行星動量的矢量。

於是,他們就開始嘗試將二維的莫比烏斯帶「嵌入」到四維辛空間中。

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而嵌入辛空間,就需要使用辛幾何學的工具,而這其中很多工具都直接關係到空間如何相交的問題。

這個時候,有一個「克萊因瓶」幫助他們徹底解決了。

克萊因瓶長這樣。

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克萊因瓶可以看做更高維度的莫比烏斯帶,莫比烏斯帶只有一條邊,克萊因瓶只有一個面,它們都不分外面裏面。

除此之外,它們還有這樣一層關係——將兩條莫比烏斯帶粘在一起就可以形成一個克萊因瓶。

隨後就發現,克萊因瓶根本不可能嵌入到四維辛空間中而不相交!

同時,他們又證明了,莫比烏斯帶可以嵌入到四維辛空間中而不相交。

而在空間中旋轉莫比烏斯帶可以構造出一個一個克萊因瓶子。如果在這個過程中,莫比烏斯帶不相交,那麼就可以再四維辛空間中構造一個不想交的克萊因瓶。

這顯然是與之前的結論是矛盾的。

所以旋轉一個莫比烏斯帶,旋轉后的副本必然會和與原來的相交。

這意味著每一個封閉的光滑曲線必須包含四個點的集合,這四個點可以連接在一起形成所有長寬比的矩形。

問題得證!

關於作者

最後,來認識下這兩位解決了百年數學難題的數學家吧~

一位是Andrew Lobb,本科就讀於牛津大學,隨後在哈佛大學攻讀博士學位,目前在杜倫大學擔任助理教授,同時也是日本沖繩科技大學Excellence Chair。

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另一位是Joshua Greene,先後在芝加哥大學、普林斯頓大學攻讀碩士、博士學位,現在是波士頓學院教授。

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如果你想更深入地了解他們的證明細節,請收好下面的傳送門~

證明論文鏈接:

https://arxiv.org/abs/2005.09193

Cole Hugelmeyer研究:

https://arxiv.org/abs/1911.07336

陶哲軒相關研究:

https://arxiv.org/abs/1611.07441

參考鏈接:

https://www.wired.com/story/in-lockdown-mathematicians-crack-a-stubborn-geometry-riddle/

https://www.bilibili.com/video/BV1rs411x7sb

作者系網易新聞·網易號「各有態度」簽約作者